고정효과와 임의효과

고정효과와 임의효과의 비교에 앞서, 요인과 수준의 개념을 짚고 가겠습니다.

요인(factor) : 실험에서 결과에 영향을 끼칠 것이라고 고려되는 독립변수 

수준(level) : 실험에 사용되는 요인의 값

예를 들어, 귤나무에서 가장 많은 귤을 수확하게 해주는 토질의 종류가 무엇인지 알아보는 실험을 한다고 합시다. 이때 귤의 수확량에 영향을 미치는 토질은 요인이 되며, 토질의 종류인 모래흙, 일반흙, 진흙은 요인의 수준이 됩니다. 이 실험을 통해 관심요인인 토질의 수준 간 효과 차이를 검증하게 됩니다.

고정효과(Fixed effect)

○ 요인(factor)의 수준을 실험자가 직접 지정한 경우. 실험자는 오직 이 수준들의 비교에만 관심이 있습니다.

○ 실험된 요인의 수준에 대해서만 비교가 가능하여 통계 추론이 실험에 사용된 수준에 제한됩니다. 

○ 동일한 개체(subject)에서 반복측정된 자료에 적용하기엔 적절하지 않습니다.

○ 고정 요인이 포함된 모형을 고정효과 모형(Fixed effects model)이라고 합니다.

○ 예를 들어, 여학생과 남학생의 시험성적을 비교하고자 할 때, 성별을 고정효과라고 합니다.

    폐질환 치료약 종류 A, B, C에 따른 개선정도를 비교하고자 할 때, 약의 종류를 고정효과라고 합니다.

고정효과모형은 다음과 같습니다.

이 모형에서 관심은 수준들마다 관측값에 차이가 있는지이며, 가설은 다음과 같습니다.

귀무가설(H0)은 수준별 효과가 0, 즉 '처리 효과 차이가 없다'이며, 대립가설(H1)은 '처리 효과 차이가 있다'가 됩니다.

임의효과(Random effect)

○ 요인의 수준이 임의추출된 경우.

○ 각 개체에서 반복적으로 관측된 자료가 있는 연구에서 어떤 특정한 개체에서 관측된 반복측정자료가 하나의 군집을 이루는 경우에 모형은 각 개체에 대한 랜덤효과항을 포함하게 됩니다. 이 랜덤효과항은 하나의 표본군집이 모든 가능한 군집에서 추출되었다는 것을 의미합니다.

○ 해당 요인의 수준을 넘어 모집단으로 해석을 확대할 수 있습니다. 요인의 모든 수준을 고려하는 경우, 그만큼 많은 모수를 모형에 포함하게 되며 모형이 복잡해지는 문제가 발생합니다. 따라서 고정효과가 아닌 임의효과로 취급하면 이들의 분포를 설명하는 하나의 모수(시그마)만을 모형에 포함하게 되어 훨씬 단순하게 모형을 적합할 수 있습니다.

○ 수준의 효과는 확률변수로 간주되며 분포를 가정합니다. 일반적으로 평균이 0이고 분산이 시그마인 정규분포를 가정하는데, 여기서 분산의 추정값은 군집들 간의 변동성을 의미합니다.

○ 임의 요인이 포함된 모형을 임의효과 모형(Random effects model)이라고 합니다.

○ 고정 요인과 임의 요인이 모두 존재하는 모형은 혼합효과 모형(Mixed effects model)이라고 합니다.

임의효과모형은 다음과 같습니다.

고정효과모형에서와는 다르게 는 상수가 아닌 확률변수로 오차와는 독립입니다. 실험 전에 어떤 수준이 선택될지 알 수 없기 때문에 확률변수로 취급하는 것입니다.

이 모형에서 처리 효과의 유무를 확인하는 가설은 다음과 같습니다.

만약 어느 수준에서든 효과가 동일하다면 처리 효과 값 역시 동일할테고 이 때 분산은 0이 될 것입니다. 만약 수준마다 효과가 다르다면 처리 효과가 여러 값을 가질테고 분산은 0보다 커지게 되겠죠.

참고

성내경(2012), 실험설계와 분석, 자유아카데미

Alan Agresti(2009), 범주형 자료분석 개론, 자유아카데미